1. Как изменится величина дроби, если числитель увеличить на 300 %, а знаменатель уменьшить на 50 %.

2. Чему равна градусная мера угла А, если его биссектриса образует с одной из его сторон угол, в три раза меньший угла, смежного с углом А.

3. Две машины едут по трассе скор ... Читать дальше »

1 часть: выбрать ответ из четырёх возможных.

А1. Укажите какое число является корнем уравнения: 3х – 2 = х + 4

а)1,5 б)0,5 в) -3 г) 3

А2. Вычислить: 2 – 2

а) 1 б)2 в)4 г)8

А3.Упростить выражение: 4п х 0,2п

а) 0,08п б) 0,08 ... Читать дальше »

Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 3.
На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1).

На покраску крышки израсходовали 30 г краски.

Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки? Не забудьте обосновать ответ.
... Читать дальше »

1.Задание (3 балла)

2.Задание (4 балла)

Какой многоугольник не может получиться при пересечении двух

треугольников?

(A) треугольник

(Б) четырехугольник

(В) пятиугольник

(Г) шестиугольник

(Д) любая ... Читать дальше »

Две лошади начали пить воду из одного бака, до верху наполненного водой. Гнедая лошадь выпила половину трети четверти половины бака, а вороная – четверть половины трети половины бака. Какая лошадь выпила больше воды?

6 баллов)

Замените буквы цифрами так, чтобы получилось ве ... Читать дальше »

1. Между цифрами 1, 2 , 3 , 4, 5 поставь знаки действий так, чтобы результат был равен 9. (2 балла.)

2. Решите уравнение

(2х² + 5х - 3) - 2( х² + х + 4) = 0 ( 4 балла)

3.Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, если цифры в записи числа не п ... Читать дальше »

Если между цифрами двухзначного числа х вписать тоже число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х.

Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 рубль, потом уплатил второму купцу половину о ... Читать дальше »

Задача 1.

Какой цифрой оканчивается сумма 92007 + 92006 ?

Ответ:

92007 + 92006 = 92006( 9 + 1) = 92006* 10.
Нулем.

Задача 2.

В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук мен ... Читать дальше »

1. На Олимпийских играх наши спортсмены завоевали 96 медалей, из них золотых и бронзовых вместе – 65, а золотых и серебряных – 61. Сколько золотых, серебряных и бронзовых медалей получили они в отдельности?

2. Как без помощи инструментов можно проверить, является ли бумажный четырехугол ... Читать дальше »

№1

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы – 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?

№2

Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок длиной 1 см?

№3

Работник заключил контракт на меся ... Читать дальше »

1. Числитель дроби увеличили на 5, а знаменатель – на 2 (числитель и знаменатель – целые положительные числа). При этом значение дроби уменьшилось. Приведите пример, как такое могло произойти. Ответ. Например, 10/3.

Комментарий. Подойдет любая дробь, большая чем 5/2.

2. Дан ... Читать дальше »

Задача 1. В волшебном саду выросло 2013 яблок. Сколько в этом саду яблонь, если на каждой яблони яблок выросло поровну и в этом саду все яблони разного сорта, которых меньше 30, но больше 10. (7б)

Задача 2. Дан квадрат ABCD и равносторонний треугольник ADM. Отрезок CM пересекает отрезок ... Читать дальше »

Сократите дробь:

Решение

Найдите такие и , при которых для всех допустимых значений x верно

Решение

Допустимыми значениями x являются все числа, кроме x=1.

Из последнего равенства следует, что , .

Поставьте знак между неко ... Читать дальше »

Задание №1

Переведите на русский язык греческие слова - моно, ди, поли и латинские - уни, би, мульти

Задание №2

Люди какой профессии постоянно смотрят на 5 параллельных линий ?

Задание №3

Задание №4

Задание №5

... Читать дальше »

Сократить дробь: .

(2б)

Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил?

(2б)

Докажите, что если сум ... Читать дальше »

Сравните числа и 10. (7баллов)

Известно, что и ; ; ; и т.д. (рис. 1). Тогда длина отрезка равна…(7баллов)

Витя задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Витя? (7баллов)
Решить неравенство: .(7баллов)
Стрелок дес ... Читать дальше »

Задача 1. Ответ: 25 рублей. Решение: Одолженные и возвращенные соседу деньги можно не принимать во внимание. Так как покупатель расплатился фальшивыми деньгами, то продавец понес убыток 25 рублей.

Задача 2. Ответ:82°.Решение: одно из возможных обоснований:

1) Рассмотрим тре ... Читать дальше »

Вычислите: .

Постройте график функции: у = .
Решите неравенство:

+ < х – 1.

Имеется 9 пустых больших коробок. В некоторые из них положили по 10 пустых средних коробок, а в некоторые средние – по 10 пустых маленьких. Всего оказалось 109 коробок. Сколько с ... Читать дальше »

Задача 1.

По беговой дорожке одновременно стартовали два спортсмена. Первый, имея большую скорость, добежал до конца дорожки, повернул обратно, встретил второго через 5 мин после начала бега и добежал до старта на 1 мин 20 с позже, чем второй до конца дорожки. Найдите скорость первого с ... Читать дальше »

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 … 998 999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

По определению, n ! = 1 · 2 · 3 · … · n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · … · 20!, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого нату ... Читать дальше »

1.(2б) Объясните, почему 2,6·(26n -1) – целое число при любом натуральном n.

Решение.

Число 26n всегда оканчивается на 6, а поэтому 26n -1 оканчивается на 5;

Заметим, что при умножении 2,6, на целое число, оканчивающееся на 5, получается целое число.

... Читать дальше »

№1

Решите уравнение:

х6 – 2х5 – 2х4 + 6х3 – 7х2 + 8х – 4 = 0

10 баллов

№2

Задача. В зрительном зале клуба было 320 мест. После ремонта число мест в каждом ряду увеличилось на 4 и, кроме того, в зале добавился ещё один ряд. Сколько стал ... Читать дальше »

№1

Решить неравенство:

5|х + 4| < 25|х|

15 баллов

№2

Упростить выражение:



10 баллов

№3

При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что ... Читать дальше »

Задания для Смирновой Ксении и Дмитриченко Ульяны:

1). Борис Немцов как-то сказал, что квартплата увеличится за год в среднем на 15%, так как сейчас граждане оплачивают только 35% стоимости содержания жилья, а через год будут оплачивать 50%. На сколько процентов на самом деле увеличится ... Читать дальше »

В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

Даны два различных числа х и у (не обязательно целых) таковы, что х2 – 2012 х = у2 – 2012 у ... Читать дальше »

Решите уравнение

В ответе укажите целый корень. (2б)

Решение:



Ответ:1.

Решите систему уравнений

(2б)

Решение:

Пусть , xy=b, тогда



Имеем

Ответ: (3;1), (1;3). ... Читать дальше »

Делится ли на 61? (7баллов)
Решить уравнение .(7баллов)
Известно, что в ΔABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС. (7баллов)
При каких значениях а разность корней уравнения равна 3? (7баллов)
Сумма десяти первых членов арифметической пр ... Читать дальше »

Докажите, что для любых чисел a, b, c, принадлежащих отрезку [0, 1], выполните неравенство

(a + b + c + 1)2 4(a2 + b2 + c2).

Решить систему уравнений

В окружность с центром О вписан четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстоя ... Читать дальше »

№1

Решить неравенство:

5|х + 4| < 25|х|

15 баллов

№2

Упростить выражение:



10 баллов

№3

При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что ... Читать дальше »

1.(2б) Найти все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два -- неверны:
а) A делится на 5,
б) A делится на 23,
в) A+7 есть точный квадрат,
г) A-10 есть точный квадрат.

Решение

Нужно перебрат ... Читать дальше »

1. В одном магазине молоко подешевело на 40%, а в другом – сначала на 20%, а затем еще на 25%. Первоначальная цена на молоко в каждом из магазинов была одна и та же. Где молоко стало стоить дешевле?

2. При сложении двух целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце одного из слагаемых ... Читать дальше »

1. Придумайте такое нецелое число, что 15% и 33% от него – целые числа.

Ответ. Например, 100/3.

2. Найдите сумму: 1002–992+982–972+...+22–12.

Решение.

По формуле разности квадратов 1002–992 = 100+99; 982–972=98+97; …

Поэтому 1002–992+9 ... Читать дальше »

1 задача (2 балла). Доступна большинству учащихся и соответствует программе 10 класса, аналогичная задачам из контрольной работы на пятерку.

Задача 1. Решите уравнение:

.

Решение:

Прологарифмируем это уравнение по основанию 2012:

;
... Читать дальше »

Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция. (7баллов)
Найдите все решения уравнения: .(7баллов)
В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соед ... Читать дальше »

1.(2б) Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 +√3.

Решение

Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем мно ... Читать дальше »

№1

Найдите производную функции:



10 баллов

№2

Решить неравенство:



15 баллов

№3

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый ... Читать дальше »

Вычислите:

.

Решите уравнение:

(х-2)(х-3)(х+4)(х+5)=1320.

При каком целом к неравенство х+2(4к-1)х+15к-2к-7>0 верно при любом действительном х?
Дан квадрат, сторона которого равна а. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, образованной дуга ... Читать дальше »

Можно ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что для любых 8 маршрутов найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?



Ответ: можно.

Решение. Рассмотрим, например, 10 ... Читать дальше »